„Bauern als Preistreiber!“ scholl es einst durch die Lande, als Inflation noch ein Thema war. Was war geschehen? Die meisten Gemüse und Früchte sind aufgrund der jahreszeitlichen Ernteschwankungen im Winter teurer als im Sommer. Nehmen wir als Zahlenbeispiel an, sie waren im Winter doppelt so teuer wie im Sommer. Das heisst: Von Sommer zu Winter steigen die Preise um 100 Prozent, vom Winter zum Sommer sanken sie um 50 Prozent, woraus sich scheinbar eine durchschnittliche Verteuerung von 25 Prozent (100-50 durch 2) ergab. Die Bauern, denen kein entsprechender Cash-Flow im Portemonnaie aufgefallen war, protestierten sofort und mit Erfolg. Die Berechnungsweise des Konsumentenpreisindex wurde entsprechend korrigiert.
Jahrzehnte später serviert die NZZ zum Frühstück den „Gemüse-Trick“ in ihrem Börsenteil. Ziel des Artikels ist, das Halten von Bargeld zwecks Flexibilität (Jargon: als Option) zu begründen. Dies wäre weder falsch noch neu. Nur fällt Autor Patrick Herger in die Gemüsefalle: Er benutzt den Durchschnitt der Prozentsätze (Renditen) anstatt die Renditen des Durchschnitts. .
Konkret: Eine Familie bucht Ferien entweder früh für 500 Franken oder spät für (mit fifty-fifty Chancen) entweder 250 oder 1000 Franken. Klar ist früh zu 500 Franken billiger als spät zu einem Erwartungswert von 625 Franken. Jetzt aber vergleicht der Autor Renditen: Da die Reise ohne Frührabatt oder Last-Minute-Preis 1000 Franken kosten würde, ergibt sich bei Frühbuchung ein Gewinn von 100 Prozent (1000 Franken für 500 Franken); bei Spätbuchung von entweder 300 Prozent (1000 Franken für 250 Franken) oder von null, das sind im Durchschnitt immer noch 150 Prozent. Voilà!
Schon die Verwendung von Renditen ist unglücklich. Anleger haben letztlich lieber Franken als Prozente. Sie maximieren — bei Strafe des langsamen Untergangs — den Wert des Vermögens, nicht erwartete Renditen. Aber richtig schlimm: Der Autor verwendet für seine Prozentsätze (wie beim Sommer- und Wintergemüse) unterschiedliche Basen (einmal 500 Franken, dann 250 Franken).
Abgesehen von den für eine Börsenseite eher unerwarteten Fehlern, wischt der Autor mit seinem einfachen Beispiel auch ein paar weitere Probleme unter den Tisch: Die Familie könnte in Wirklichkeit auch zuwarten und die Reise am Ende gar nicht buchen. Vielleicht taucht ein noch besseres Angebot auf, oder die Tochter bricht sich beim Sturz vom Pferd ein Bein. Der Optionswert des Wartens enthält daher auch eine Versicherungsprämie gegen Überraschungen.
Ich schreibe dies nicht, weil ich an der Fähigkeit von Schweizer Familien zweifle, ihre Ferien auch nach Lektüre der NZZ (rechtzeitig umleiten!) optimal zu buchen. Vielmehr: Der Autor, der selber vor „kostspieligen Fehlern“ warnt, lässt dem verunglückten Ferienbeispiel eine genauso verunglückte Börsenanleitung folgen. Da wird es dann tatsächlich kostspielig. Was, wenn mein(e) Pensionskassenverwalter(in) den Artikel liest und befolgt? Die Forderung nach einem obligatorischen Warnhinweis auf Börsenseiten scheint vielleicht verfrüht. Aber die NZZ, wäre gut beraten, wenn sie sich anscheinend schon kein Finanzlektorat leistet, anspruchsvolle Berechnungen wenigstens vorher dem Schweizerischen Bauernverband vorzulegen.
Ich bezahle meine Ferien (wie übrigens auch Fleisch beim Metzger) in Franken, nicht in Prozenten von irgendetwas. Um herauszufinden, ob ich etwas gewinne oder verliere, rechne ich deshalb immer auch in Franken. Prozentrechnungen sind manchmal nützlich, aber absolute Werte soll man nicht vergessen. In „Practical Statistics“ von Dr. Russell Langley (Dover, 1971) steht bereits auf S. 3 „Beware of percentages unaccompanied by actual numbers“. Es wäre in diesem Sinne gut, wenn die Zeitungen neben Prozenten auch die effektiven Zahlen nennen würden.
Leider hat Herr Henger in der NZZ vom 9. März nachgedoppelt! Traurig.
https://www.nzz.ch/finanzen/fonds/an-dieser-simplen-prozentrechnung-scheitert-der-professor-ld.1604194
So richtig scheint Patrick Herger ja nicht an Ihre Erklärung zu glauben, nachdem er heute nochmals nachgelegt hat. Ich musste seinen Artikel auch zweimal lesen, so verblüfft war ich über seinen doch recht simplen Fehler.
Um seine Liste zu komplettieren: Es gilt weiterhin „Ockam’s razor“: Die einfache Erklärung schlägt die komplizierte. Dann kommt man mit der simplen Berechnung von erwarteten Kosten auf die korrekte Antwort!
Sehr verwundert über die NZZ.
Herzlichst,
Ihr Ekkehard Ernst
Es stellt sich die Frage, wieviele Prozente man intus haben muss, um die Wahrscheinlichkeitsrechnung komplett zu vergessen. Vielleicht kommt man nach x Jahren coronafreien „fitfy-fifty“- Sommerferien doch noch drauf, sich für den kommenden Februar eine Alternativanlage für die je gesparten 500 Franken zu suchen.
Der Überlegungsfehler, der Herr Herger hier macht, ist ziemlich offentsichtlich. Das Beispiel mit den Ferien zeigt ja gerade, dass Prozentvergleiche in die Irre führen können, wenn das investierte Kapital unterschiedlich hoch ist. Herr Herger wäre gut beraten gewesen, wenn er den Artikel noch jemandem gezeigt hätte, der auch ein Flair für Zahlen hat.
Sind 150% Ersparnis wirklich richtig?
Die Frage lautet eher: nehme ich 500 Franken Ersparnis sicher oder gehe ich eine Risiko ein, zwar 750 Franken zu sparen oder gar nichts zu sparen.
Der Erwartungswert der Ersparnis im 2. Fall beträgt also:
750 Franken * 0,5 + 0 * 0,5 = 375 Franken. (=37,5% von 1.000 Franken)
Das sieht jetzt doch etwas anders aus.
Hat die Prozentrechnung vielleicht doch einen Fehler?
Batz schlägt NZZ auch bei Renditeberechnung :
Wert der Reise 1.000 CHF
Einsatz 500 CHF
Rendite auf Einsatz?
Fall 1:
Winterbuchung
Einsatz 500, Familie erhält Reise im Wert von 1000 – Rendite 100%
Fall 2: Sommerbuchung
Bei Einsatz von ebenfalls 500,
a. Reise kostet 1000
Familie muss 500 nachschießen
Rendite 100%, Nachschuss -100%
Gesamtrendite 0
b. Reise kostet 250
Familie erhält für ihren Einsatz von 500 eine Reise im Wert von 1.000 und 250 in cash zurück
Rendite 100% Zusatzrendite Cash Rückfluss 50%
Gesamtrendite auf 500: 150%
Erwartungswert Rendite im Fall 2 a und b : (0%+150%):2 = 75%
Fall 1: Winterbuchung: 100% Rendite
Fall 2: Sommerbuchung: 75% Rendite
Familie sollte auch bei einer Renditeberechnung die Winterbuchung wählen und die NZZ sollte sich bei Batz entschuldigen
Meiner Meinung nach müsste die Basis für die Berechnung der erwarteten Renditen der zwei Entscheidungsalternativen immer der Preis zum Zeitpunkt der Entscheidung sein. Dieser ist bei beiden Preismodellen 1000 Franken. Bei einer sofortigen Buchung macht man einen Gewinn von 500 Franken, was eine Rendite von 50 Prozent entspricht (1000-500)/1000). Bei einer späteren Buchung macht man entweder einen Gewinn (im Vergleich zum heutigen Preis) von 750 oder keinen Gewinn. Somit haben wir einen erwarteten Gewinn von 375 Franker, was im Verhältnis zum heutigen Preis von 1000 eine erwartete Rendite von 37.5 Prozent entspricht. Bei der Berechnung der erwarteten Rendite dürfte nicht der zukünftige Preis (250) als Basis genommen werden. Dieser Preis bestimmt die Höhe des erwarteten Gewinns, aber nicht die Höhe der erwarteten Rendite. Die letztere müsste im Verhältnis zum heutigen Preis (1000) berechnet werden.
Was bei der Ferienbuchung unsinnig ist, macht als Anlage doch Sinn. Wenn man nicht nur eine Ferienreise buchen kann, sondern unbeschränkt Reisen buchen kann, sollte man im Sommer buchen, da dann die Rechnung von Hr. Herger der erwarteten 150% Redite stimmt.
Besten Dank! Genauso argumentieren wir in unserer Replik, die seit gestern bei der NZZ auf Freischaltung wartet.
re Hr. Schuuman,
da ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung doch noch nicht ganz richtig angewandt:
bei der Sommervariante ergibt sich eine Ersparnis nur bezogen auf den Erwartungswert des eingesetzten Kapitals – da liegt nämllich der Fehler in der Anwendung:
Erwartungswert Ersparnis = 750 * 0,5 + 0 * 0,5 = 375
Erwartungswert eingesetztes Kapital = 250 * 0,5 + 1.000 * 0,5 = 625
Ersparnis = 375 / 625 in % = 60 %
Vielleicht sollten wir die Goldmaske im Athener Nationalmuseum mal genauer ansehen. Schliemann meinte, sie sei von Agamemnon – allerdings steht heute wohl fest, dass es „nur“ ein mykenischer Fürst war, der vor Agamemnon lebte.
Nachtrag – vielleicht ist Mathe ja doch rassistisch und kann beliebige, richtige Ergebnisse erzielen – dann hätte sie wenigstens etwas mit den Genderwissenschaft gemein.
@Bastiaan Schuurman, machen wir ein Deal. Ich kaufe Jahr für Jahr Reisen für 500 Fr. in Februar, und verkaufe es Ihnen im Sommer. Wir werfen dann im Sommer eine Münze, Kopf bezahlen Sie mir 250 Fr., Zahl bezahlen Sie mir 1000 Fr. Ich möchte dieses Geschäft gerne unbeschränkt mit Ihnen machen.
Geschätzte Herren
bitte beachten Sie, dass batz.ch keine Lizenz als Wett-Plattform besitzt 😉
Der Fehler in der NZZ besteht darin, dass die Reise nur einmal und nicht mehrfach gekauft werden kann und laut Problemstellung wohl sogar gekauft werden muss. Somit ist es keine Option, sondern eine Pflicht und es gilt für den Sommer der Erwartungswert von 625. Der Artikel in der NZZ betrachtet vielmehr den Fall, dass beides Investments sind, die in beliebiger Höhe genutzt werden können. Wenn im Frühjahr und im Sommer jeweils derselbe Betrag von 500 investiert werden kann, einmal durch Kauf einer Reise mit 100% Gewinn und einmal durch Kauf von zwei Reisen bei 50% Chance auf 300% Gewinn ist letztere Option mit einem Erwartungswert von 150% Gewinn vorteilhaft, jeweils bezogen auf die Basis von 500. Ähnlich könnte die NZZ argumentieren, wenn im Sommer zwar nur eine Reise gekauft werden kann, es aber keine Verpflichtung gibt, im negativen Fall die ungünstige Option auszuführen und das Kapital zu binden. Dann hängt eine detaillierte Betrachtung davon ab, welche Alternativen sich für das im Sommer nicht investierte oder weniger investierte Geld bieten. Unter der Annahme, dass es gleichwertige Angebote wie Sand am Meer gibt, aber keine anderen, wäre die NZZ-Argumentation korrekt.
@BerndDWieth: mindestens unterstellt die NZZ nur den männlichen Mathematikdozenten (und sonstigen Spezialisten) Schwierigkeiten mit dem Prozentrechnen. Als Mathematikerin beruhigt mich dies ungemein
Lieber immer nur kurzfristig im Sommer und nur zum Preis von 250 Franken buchen oder gar nicht. 100% Wahrscheinlichkeit dass man die Reise nicht annulieren muss, Erwartungswert der Kostem 125 Franken, 50% Wahrscheinlichkeit dass man zu Hause bleibt. Macht man das 3 Mal pro Jahr gibt es eine ansehnliche Wahrscheinlichkeit überhaupt zu verreisen. Ich überlasse es gerne anderen, die Rendite dieser Strategie in Prozenten zu berechnen. Ich habe die Zufriedenheit auf ziemlich sicher, und falls es mal nicht so gut läuft dann vielleicht nächstes Jahr. Wie mit Corona.
Wir haben die These, wir haben die Antithese und ich versuche mich jetzt an der Synthese:
Im Artikel der NZZ wird „Durchschnittliche Rendite pro Geldeinheit“ mit „Durchschnittlicher Rendite pro Buchung“ verwechselt.
Würde also die Reise im Sommer gebucht, würde die durchschnittliche Rendite gemäss Wahrscheinlichkeitsrechnung tatsächlich bei 150 Prozent liegen. (im Gegensatz zu 100 Prozent im Winter)
Aber: Pro eingesetztem Franken läge die durchschnittliche Rendite eben nur bei 60 Prozent:
250 x 50 + 1’000 x 50 = 62’500 (auf 100 Versuche aufgewendeter Betrag)
750 x 50 = 37’500 (Rendite)
37’500 / 62’500 = 0.6 (Rendite dividiert durch Anzahl aufgewendete Franken)
Die Rechnung für die Buchung im Winter:
500 x 100 = 50’000 (auf 100 Versuche aufgewendeter Betrag)
500 x 100 = 50’000 (Rendite)
50’000 / 50’000 = 1 (Rendite dividiert durch Anzahl aufgewendete Franken)
Im Winter liegt die durchschnittliche Rendite pro eingesetztem Franken mit 100 Prozent somit deutlich höher.
Also: Im Winter buchen.
Ich halte die Rendite pro „Franken“ und nicht pro Buchung für relevant.
Herr Birchler: An einer Stelle schreiben Sie der Erwartungswert im Sommer wäre sFr. 625.-. Ich meine aber, das sei nur der durchschnittliche Preis der Reise. Der Erwartungswert ist 0.5.
Der Fehler bei der Sommerrechnung liegt doch in der Annahme, daß das eingesetzte Kapital 250 S.Fr. ist, was bei der Hälfte der Fälle zutrifft. Bei der anderen Hälfte der Fälle muß die Familie ein Kapital von 1000 S.Fr. einsetzen, also bei klassischer Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das erwartete eingesetzte Kapital 1250/2 = 625 und die erwartete Rendite dementsprechend 375/ 625 = 60%
Die NZZ liegt falsch, sonst müsste ja folgendes Ergebnis (einer leicht abgeänderten Variante) gelten:
Annahmen
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Früh buchen (wie gehabt):
———————————-
Einsatz = 500
Wert der Ferien = 1000
Gewinn = 1000-500 = 500
Rendite = 500/500 = 1 = 100%
Warten auf Sommer:
(A) Voller Preis (wie gehabt)
————————————-
Einsatz = 1000
Wert der Ferien = 1000
Gewinn = 1000-1000 = 0
Rendite = 0/1000 = 0 = 0%
Wahrscheinlichkeit = 50%
Warten auf Sommer:
(B) Geschenk (neu): Die Familie bekommt die Ferien quasi geschenkt und bezahlt einen symbolischen Rappen: 0.01 CHF
————————————————————–
Einsatz = 0.01
Wert der Ferien = 1000
Gewinn = 1000-0.01 = 999.99
Rendite = 999.99/0.01 = 99’999 = 9’999’900%
Wahrscheinlichkeit = 50%
Ergebnis NZZ
——————
Gemäss Rezept im NZZ-Artikel wäre nun die erwartete Rendite für ‚Warten auf Sommer‘:
Erwartete Rendite = 50% X 0 + 50% X 9’999’900% = 4’999’950%
m.a.W würde dies – fälschlicherweise – bedeuten: Das Szenario ‚Warten auf den Sommer‘ mit der Aussicht, bei Kopf die Ferien voll zu bezahlen, und bei Zahl die Ferien ‚geschenkt‘ zu bekommen, birgt eine Rendite von knapp 5 Mio % und wäre darum der Variante ‚früh buchen‘, bei welcher die Familie garantiert nur den halben Preis bezahlt, 50’000 mal vorzuziehen (5 Mio % / 100 %)
Natürlich hat Hr. Birchler recht, was die Berechnung der Renditen anbelangt. Aber er liegt nicht ganz richtig, wenn es um die korrekte „Modellierung“ des Optimierungsproblems liegt. Investoren maximieren nicht den erwarteten Wert des Vermögen, sondern den erwarteten Nutzen des Vermögens. Hier spielt die Risikoaversion eine Rolle. Angenommen die Nutzenfunktion ist logarithmisch, 1/2*ln(1000) + 1/2*ln(250) = ln(500). Unter dieser Annahme ist die Familie indifferent zwischen früh oder spät buchen. Das Beispiel der NZZ enthielt keinerlei Optionalitäten. Nur, wenn man das Recht hätte, nicht jedoch die Pflicht, in die Ferien zu fahren, würde es Sinn machen, von Realoption, Zeitwert etc. zu reden. Das scheint mir das grösste Problem mit dem Beispiel im Artikel zu sein.
Du meine Güte. Wenn uns solche Wirtschaftswissenschaftler und Mathematiker beraten, dann können wir unser Geld auch gleich in den Gemüsegarten werfen, vielleicht fressen es die Vögel.
Man braucht da keine Prozente, keine Rendite, keine Stochastik, nicht einma Mathematik.
Eine Sommerreise kostet im Februar 500 Franken, im August entweder 250 oder 1000, bei gleicher Wahrscheinlichkeit. Was die Reise „tatsächlich wert ist“, ist völlig uninteressant. Wer sie im Februar kauft, zahlt 500 Franken. Im Sommer hat er eine 50%ige Chance, sie für die Hälfte zu bekommen, ebenso hoch aber ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie das doppelte kostet. Er macht also entweder 250 Franken plus oder aber 500 Franken minus. Wer da im Februar nicht zugreift, macht das jedenfalls nicht all zu oft wieder… , es sei denn er ist Finanzminister und kann es sich leisten, das Geld anderer Leute zum Fenster hinaus zu werfen.
Da haben Sie völlig recht. Ich wollte die Komplikation Risikoaversion nicht noch hineinnehmen. Natürlich gehört sie in eine vollständigere Betrachtung. (Man dürfte dann aber nicht, wie in Ihrem Beispiel, die Nutzen der Zahlungen nehmen, sondern die Nutzen der dem Haushalt verbleibenden Beträge.)
Machen wir es einfach:
Der Output ist eine Ferienreise und bei beiden Entscheidungsalternativen identisch.
Der Input sind die Franken.
Das Verhältnis von Output zu Input will ich maximieren. Wenn der Output aber bei beiden Alternativen identisch ist, kann ich nur den Input minimieren. Wann gebe ich am wenigsten Franken aus?
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung von Herrn Birchler gibt die Antwort:
Alternative Frühjahr: 100% x 500 SFR = 500 SFR (günstiger)
Alternative Sommer: (50% x 1000 SFR) + (50% x 250 SFR) = 625 SFR (teurer)
Die Bauernweisheit lautet: Im Einkauf liegt der Gewinn.
Was bei der Ferienbuchung unsinnig ist, macht als Anlage doch Sinn. Wenn man nicht nur eine Ferienreise buchen kann, sondern unbeschränkt Reisen buchen kann, sollte man im Sommer buchen, da dann die Rechnung von Hr. Herger der erwarteten 150% Redite stimmt
@ Ramon de Groot
Können wir gerne machen. Ich kaufe jedes Jahr für 1’000.- Reisen bei Ihnen. Im einten Jahr bekomme ich vier, im Nächsten nur eine. Alle zwei Jahre habe ich so aus 2’000.- Reisen im Wert von 5’000.- gekauft… 150% Gewinn.
Guten Tag Herr Professor Birchler, ich bin ein ehem. Student von Ihnen.
Herr Herger beschreibt in der NZZ immer wieder Anlagestrategien basierend auf gleitenden Durchschnitten, Relative Strength etc. Was auf Zeitungspapier wie Zaubertricke aussieht, scheitert in der Realität. Grund sind insbesondere Gebühren und Stempelsteuern für Schweizer Privatanleger. Ich nehme an, sie kennen die Artikel. Was ist Ihre Meinung dazu?
Ich lese diese Beiträge nie.